Начало возможных перемещений. Начало возможных перемещений Теорема о взаимности возможных работ

8 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

15. Потенциальная энергия деформации при изгибе.

При изгибе, также как и при других видах деформации, работа, производимая внешними силами, затрачивается на изменение потенциальной энергии деформированного стержня.

Работа внешнего момента при упругой деформации стержня:

Где - угол поворота сечения в точке приложения момента.

Элементарная работа изгибающего (внутреннего) момента определяется из выражения (по аналогии со случаем растяжения-сжатия):

, но при изгибе имеем: .

Кривизна, как величина, обратная радиусу кривизны определяется из выражения:

, где: - модуль упругости первого рода;

Момент инерции сечения относительно нейтральной оси сечения.

Поэтому можно записать:

.

Полная работа изгибающих моментов для балки длинной l :

.

Потенциальная энергия изгиба, равная работе внутренних сил, взятая с обратным знаком, определяется из выражения:

.

Добавок потенциальной энергия за счет сдвига (для общего случая не прямого, а поперечного изгиба), соответствует работе поперечной силы. Но этот добавок по абсолютному значению невелик и при практических расчетах им обычно пренебрегают.

16. Теорема о взаимности работ и взаимности перемещений.

Рассмотрим упругую линейно деформируемую систему в двух различных состояниях, отвечающих двум различным нагрузкам P1 и P2 (рисунок 47). В данном случае простая балка нагружена в обоих состояниях простой нагрузкой (по одной сосредоточенной силе P1 и P2 ).

Рисунок 47

а) первое состояние системы (под нагрузкой Р1 );

б) второе состояние системы (под нагрузкой Р2 ).

Δ 11 – перемещение по направлению нагрузки Р1 Р1 .

Δ 21 – перемещение по направлению нагрузки Р2 в месте ее приложения от действия Р1 .

Δ 22 – перемещение по направлению нагрузки Р2 в месте ее приложения от действия Р2 .

– перемещение по направлению нагрузки Р1 в месте ее приложения от действия Р2 .

Перемещения Δ 11 к Δ 22 называются главными, а перемещения Δ 12 к Δ 21 – побочными.

Теорема: Работа внешних сил первого состояния, на перемещениях, вызванных силами второго состояния, равна работе внешних сил второго состояния на перемещениях, вызванных силами первого состояния.

Доказательство.

1) Вначале приложим силу Р1, а затем к деформированной балке приложим силу Р2 .

Подсчитаем работу, произведенную внешними силами (обращая внимание на рисунок 48).

Работа произведенная статически приложенной силой Р1 на собственном перемещении Δ 11 , вызванном этой силой, определится из выражения:

Работа, произведенная статически приложенной силой Р2 на собственном перемещении Δ 22 определится из подобного выражения:

Рисунок 48

При этом дополнительная работа уже постоянно приложенной силы Р1 на перемещении Δ 12 , вызванном силой Р2 определится из выражения:

(обращая внимание на то, что множитель 1/2 в выражении отсутствует, поскольку сила Р1 постоянна на перемещении Δ 12).

Полная работа внешних сил при рассмотренной последовательности приложении нагрузок:

.

2) Теперь вначале приложим силу Р2 , а затем к деформированной системе приложим силу Р1 .

Рассуждаем аналогично первому случаю. Работа произведенная силой Р2 на собственном перемещении Δ 22 , вызванном этой силой:

Работа, произведенная силой P 1 на собственном перемещении Δ 11:

Дополнительная работа силы P 2 на перемещении Δ 21 , вызванном силой P 1 :

(множитель 1/2 отсутствует, поскольку сила P 2 постоянна на перемещении Δ 21).

Тогда полная работа внешних сил при рассмотренной последовательности приложения нагрузок:

.

Поскольку работа сил не зависит от порядка их приложения, следовательно:

или иначе:

А для рассматриваемого случая;

.

Полагая приложенные силы единичными P 1 = P 2 =1 , получим равенство перемещений, вызванных единичными силами:

Последнее равенство доказывает теорему о взаимности перемещений:

Перемещение точки приложения единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки приложения второй единичной силы по направлению последней, вызванному действием первой единичной силы.

Аналогично можно доказать взаимность дополнительной работы внутренних сил:

Для этого рассмотрим элемент балки длиной dz (рисунок 49).

Пусть в первом состоянии к системе приложена сила, а во втором - (рис.6). Обозначим перемещения, вызванные единичными силами (или единичными моментами) символом. Тогда перемещение рассматриваемой системы по направлению единичной силы в первом состоянии (то есть вызванное силой) - , а перемещение по направлению силы во втором состоянии - .

На основании теоремы о взаимности работ:

Но, поэтому, или в общем случае действия любых единичных сил:

Полученное равенство (1.16) носит название теоремы о взаимности перемещений (или теоремы Максвелла): для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой.

Вычислений перемещений методом Мора

Излагаемый ниже метод является универсальным методом определения перемещений (как линейных так и угловых), возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки.

Рассмотрим два состояния системы. Пусть в первом из них (грузовое состояние) к балке приложена любая произвольная нагрузка, а во втором (единичное состояние) - сосредоточенная сила (рис.7).

Работа А21 силы на перемещении, возникающем от сил первого состояния:

Используя (1.14) и (1.15), выразим А21 (а, значит, и) через внутренние силовые факторы:

Знак «+», полученный при определении, означает, что направление искомого перемещения совпадает с направлением единичной силы. Если определяется линейное смещение, то обобщенная единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную единичную силу, приложенную в рассматриваемой точке; а если определяется угол поворота сечения, то обобщенная единичная сила - это безразмерный сосредоточенный единичный момент.

Иногда (1.17) записывается в виде:

где - перемещение по направлению силы, вызванное действием группы сил. Произведения, стоящие в знаменателе формулы (1.18), называются соответственно жесткостями при изгибе, растяжении (сжатии) и сдвиге; при постоянных по длине размерах сечения и одинаковом материале эти величины можно выносить за знак интеграла. Выражения (1.17) и (1.18) называются интегралами (или формулами) Мора.

Наиболее общий вид интеграл Мора имеет в том случае, когда в поперечных сечениях стержней системы возникают все шесть внутренних силовых факторов:

Алгоритм вычисления перемещения методом Мора состоит в следующем:

• 1. Определяют выражения внутренних усилий от заданной нагрузки как функций координаты Z произвольного сечения.
• 2. По направлению искомого перемещения прикладывается обобщенная единичная сила (сосредоточенная сила - при вычислении линейного перемещения; сосредоточенный момент - при вычислении угла поворота).
• 3. Определяют выражения внутренних усилий от обобщенной единичной силы как функций координаты Z произвольного сечения.
• 4. Подставляют выражение внутренних усилий, найденные в п.п.1,3 в (1.18) или (1.19) и интегрированием по участкам в пределах всей длины конструкции определяют искомое перемещение.

Формулы Мора пригодны и для элементов, представляющих собой стержни малой кривизны, с заменой элемента длины dz в подынтегральном выражении элементом дуги ds.

В большинстве случаев плоской задачи используется только один член формулы (1.18). Так, если рассматриваются конструкции, работающие преимущественно на изгиб (балки, рамы, а частично и арки), то в формуле перемещений с соблюдением достаточной точности можно оставить только интеграл, зависящий от изгибающих моментов; при расчете конструкций, элементы которых работают, в основном, на центральное растяжение (сжатие), например, ферм, можно не учитывать деформации изгиба и сдвига, то есть в формуле перемещений останется только член, содержащий продольные силы.

Аналогично, в большинстве случаев пространственной задачи существенно упрощается формула Мора (1.19). Так, когда элементы системы работают преимущественно на изгиб и кручение (например, при расчете плоско-пространственных систем, ломаных стержней и пространственных рам) в (1.19) остаются только первые три члена; а при расчете пространственных ферм - только четвертый член.

Пусть балка имеет два состояния:

Где ∆ 12 – перемещение в точке 1 от действия силы, приложенной в точке 2.

∆ 21 – перемещение в точке 2 от силы, приложенной в точке 1.

Для вывода теоремы сначала балку загружаем силой F 1 , а затем силой F 2

Совершенная работа равна: W=W 11 +W 22 +W 12 = + + F 1 ∙∆ 12

W=W 22 +W 11 +W 21 = + + F 2 ∙∆ 21

Т.к. силы одинаковы, то и работа одинакова, из этого следует: F 1 ∙∆ 12 = F 2 ∙∆ 21 – теорема о взаимности работ (теорема Бетти): Работа сил первого состояния на перемещение второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещение первого состояния.

Если принять F 1 =F 2 =1 (безразмерная величина), то получим теорему о взаимности перемещений (теорема Максвелла): δ 12 =δ 21 - перемещение от единичной силы. Th: перемещение в точке приложения первой единичной силы по её направлению, вызванной второй единичной силой равно перемещению в точке приложения второй единичной силы по её направлению, вызванной первой единичной силой.

10.Графоаналитеческий способ решения интеграла Мора (способ Верещагина)

Если загружен. сис-мы имеют ряд участков с различными изгиб. моментами, то вычисления интеграла несколько затруднительно. Поэтому применяют способ Верещагина.

Пусть груз. эпюра моментов имеет криволинейное очертание, а единич. эпюра изгиб. моментов имеет линейное(рисунок).В этом случае интеграл Мора .(ВЫВОД)

; dw =S y - статический момент площади груз. Эпюры моментов относительно оси У.

Статический момент любой фигуры равен произведению площади на расстояние от оси до центра тяжести фигуры где w- площадь грузовой эпюры М F ; Z c - растояние до центра тяжести.

; Однако имея значение момента от единичной нагрузки под центром тяжести груз. Эпюры .Поскольку к балке может быть приложена несколько нагрузок, то перемещение определяют для каждого участка балки – формула Верещагина, т.е перемещение равно площади криволинейной эпюры на ординату прямолинейной расположенной под центром тяжести криволинейной эпюры. В практических расчётах площадь груз. эпюры разбивают на простейшие эпюры (рисунки).

Статически неопределимые системы.Метод расчета. Основная и эквивалентная система.

Статически неопределимыми балками(рамами) наз. балки(рамы) у которых все неизвестные реакции опор невозможно определить используя только уравнения статики, тк они имеют линии связи(реакции). Степень статич неопред-ти опред-ся разностью между числами неизвестных реакций и уравнений статики.

Балки имеют 4 опорные связи,т.е 4 опорные р-ции. А ур-й статики для плоской сист. Можно составить 3, следовательно балка явл. 1 раз статич. Неопределимой. Для раскрытия статической неопред-ти необход. к ур-ю статики составить доп. Ур-е исходя из перемещения сист. Их кол-во опред. степень статич неопределимости. Если линейных неизвестных несколько то доп. ур-я сост-ся исходя из деформационных условий(прогибов) на опору балки используя метод начальных параметров.

Сост. Ур-я статики и доп. Ур-я для заданной балки: Z=0; Y=0; M(B)=0.

Доп. Ур-е запишем из условия, что прогиб на опоре B=0 . EIY(B)=0. У некоторых сист. степень статич. неопред. высокая(неразрезные балки). Доп. ур-е составляеться исходя из деформационных условий(углов поворота сечения) на промежуточных опорах балкииспользуя метод сил. Из совместного решения ур-й статики и доп-х ур-й находим все неизвестные реакции

Установив степень статической неопределимости составляеться основная система. Под основной системой понимаеться такая статически определимая система, которая получается из статически неопределимой путем отбрасывания линейных связей.

Связей 6, уравнений статики 3. 6-3=3 - 3 раза статич неопред сист

Основных систем можно выбрать множество. При выборе основной системы необходимо что бы она была геометрически и мгновенно неизменяемой.

«геометрич измененная», «мгновенно измененная»

К мгновенно измененным сист относиться системы у которых реакции опор пересекаются в одной точке. Если к основной сист. приложить отброшенные связи и нагрузку, то получим эквивалентную систему.

рассмотрим 1-ю осн ситему. Рисунок

рассмотрим 2-ю основную систему. Рисунок

Основы метода сил.

расчет по методу сил осуществляеться в след. порядке:

1) Устанавливаем степень статической неопределимости

2) Выбираем основную и эквивалентную системы. отбрасывая линии связи и заменяя их неизвестными силами Х1,Х2,Х3.

3) Записывают условия эквивалентности заданой и эквиваленнтной систем по перемещению

заданая система эквив.сист

Если у заданной сист перемещение по направлению неизвестных сил Х1,х2,Х3 отсутствует.то условия эквивалентности будут иметь вид: =0, , =0.

Выразим эти перемещения от каждой неизвестной силы и от внешней нагрузки

Перемещения:

Что касается неизвестных Х1,Х2,Х3, то их влияние на перемещение можно представить ввиде:

Х1; = Х2; = Х3 т.е определение перемещений от единич. сил приложенных в направл. связей умножают их на соответствующие неизвестные силы X. после этого ур-е перемещений по направлению 3-х неизвестных связей примут вид.

Доказательство теоремы о взаимности работ

Наметим на балке две точки 1 и 2 (рис. 15.4, а).

Приложим статически в точке 1 силу . Она вызовет в этой точке прогиб , а в точке 2 – .

Для обозначения перемещений мы используем два индекса. Первый индекс означает место перемещения, а второй – причину, вызывающую это перемещение. То есть, почти как на конверте письма, где мы указываем: куда и от кого.

Так, например, означает прогиб балки в точке 2 от нагрузки .

После того, как закончен рост силы . приложим в точке 2 к деформированному состоянию балки статическую силу (15.4, б). Балка получит дополнительные прогибы: в точке 1 и в точке 2.

Составим выражение для работы, которую совершают эти силы на соответствующих им перемещениях: .

Здесь первое и третье слагаемые представляют собой упругие работы сил и . Согласно теореме Клапейрона, они имеют коэффициент . У второго слагаемого этого коэффициента нет, поскольку сила своего значения не изменяет и совершает возможную работу на перемещении , вызванном другой силой .

Лабораторная работа № 10

Цель работы – проверить опытным путем справедливость теоремы о взаимности перемещений и на ее основе построить упругую линию балки.

Основные сведения

Теорема о взаимности работ гласит, что работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещении точки ее приложения под действием первой силы, т.е.

F 1 у 12 = F 2 у 21 = W.(10.1)

Если силы равны, то теорема переходит в теорему о взаимности перемещений: перемещение первого сечения под действием силы, приложенной во втором сечении, равно перемещению второго сечения под действием той же силы, но приложенной в первом сечении.

у 12 = у 21 . (10.2)

Порядок выполнения и обработка результатов

Опыты проводятся на настольной установке СМ-4, представляющей собой двухопорную балку описанную в лабораторной работе № 9 .

Проверка теоремы о взаимности перемещений (рис. 10.1) выполняется следующим образом.

Рис. 10.1. Проверка теоремы о взаимности перемещений

В двух произвольных сечениях балки устанавливаются стрелочные индикаторы и гиревые подвесы (сечения 1 и 2 рис. 10.1, а). На индикаторе сечения 2 снимается начальный отсчет, балка нагружается в сечении 1 нагрузкой F и снимается отсчет индикатора, установленного в сечении 2 (см. рис. 10.1, б). Разность данного и начального отсчетов равна величине прогиба у 21 в сечении 2. Затем балка разгружается.

Данные по F и у 21 заносятся в журнал испытаний. Далее на индикаторе, установленном в сечении 1, снимается начальный отсчет, балка нагружается в сечении 2 той же нагрузкой F и по разности отсчетов индикатора 1 определяется величина прогиба у 12 (см. рис. 10.1, в).

Балка разгружается и данные по у 12 заносятся в журнал испытаний. Сопоставлением полученных данных по равенству (10.2) проверяется теорема о взаимности перемещений. Если равенство (10.2) не соблюдается, определяют процент погрешности

и делают выводы.

Используя теорему о взаимности перемещений, можно с помощью одного индикатора, закрепленного стационарно в сечении приложения нагрузки заданной расчетной схемы (рис. 10.2), определить экспериментально перемещения балки в любом сечении и построить упругую линию балки.

Рис. 10.2. Построение упругой линии балки

Индикатор линейных перемещений устанавливается в том сечении балки, в котором по расчетной схеме прикладывается заданная нагрузка. Один гиревой подвес размещается на консоли, второй – внутри пролета.

Определяются перемещения сечения, в котором установлен индикатор, при последовательном приложении заданной нагрузки F в расчетные точки 1 … 10 (см. рис. 10.2). Эта операция включает в себя установку гиревого подвеса в расчетную точку, снятие начального отсчета по индикатору, приложение заданной нагрузки F к гиревому подвесу, снятие отсчета индикатора и определение приращения отсчетов, равного определяемому перемещению. Для приложения нагрузки в сечениях, расположенных на консоли, используется второй гиревой подвес.

Согласно теореме о взаимности перемещений, эти перемещения будут равны перемещениям расчетных точек при приложении нагрузки F в сечении установки индикатора.

Полученные значения перемещений заносятся в журнал испытаний.

Для сравнения экспериментальных перемещений с теоретическими последние просчитываются для заданной